Equation of motion by graph

MOTION

Equations of motion by graphical method

• We already know about equations of motion when an object moves along straight line with uniform acceleration. We already know how to derive them but these equations can also be derived by graphical method.

a. Equation for velocity time relation

• Consider the velocity-time graph of an object that moves under uniform acceleration as shown below in the figure 7.
• From this graph, you can see that initial velocity of the object is $u$ (at point A) and then it increases to $v$ (at point B) in time $t$. The velocity changes at a uniform rate $a$.
• Again from figure it is clear that time $t$ is represented by OC , initial velocity $u$ by OA and final velocity of object after time $t$ by BC.
  
• From graph as given in figure 7 it is clear that $BC=BD+DC=BD+OA$.
  So we have 
  v=BD+u               (1)
• We should now find out the value of BD. From the velocity-time graph (Fig. 7), the acceleration of the object is given by
  
  which gives, $BD=at$
  putting this value of BD in equation 1 we get
  $v=u+at$
  which is the equation for velocity time relation.

• b. Equation for position time relation

  • Let us consider that the object has travelled a distance s in time t under uniform acceleration a. In Fig. 7, the distance travelled by the object is obtained by the area enclosed within OABC under the velocity-time graph AB.
  • Thus, the distance s travelled by the object is given by
    s = area OABC (which is a trapezium) 
    s= area of the rectangle OADC + area of the triangle ABD
    So, 
    $s=OA\times OC+\frac{1}{2}\left)AD\times BD\right)$
    Substituting $OA=u$, $OC=AD=t$ and $BD=at$, we get
    $s=\left(u\times t\right)+\frac{1}{2}\times \left(t\times at\right)$
    or,
    $s=ut+\frac{1}{2}a{t}^2$
    which is the equation of position time relation

  c. Equation for position velocity relation

  • Again consider graph in figure 7. We know that distance travelled s by a body in time t is given by the area under line AB which is area of trapezium OABC. So we have
    
    Since $OA+CB=u+v$ and $OC=t$, we thus have
    $s=\frac{\left(u+v\right)t}{2}$
    From velocity time relation
    $t=\frac{v-u}{a}$
    putting this t in equation for s we get
    $s=\frac{\left(u+v\right)}{2}\left(\frac{v-u}{a}\right)$
    or we have
    $v^2=u^2+2as$
    which is equation for position velocity relation.

b. Equation for position time relation

• Let us consider that the object has travelled a distance s in time t under uniform acceleration a. In Fig. 7, the distance travelled by the object is obtained by the area enclosed within OABC under the velocity-time graph AB.
• Thus, the distance s travelled by the object is given by
  s = area OABC (which is a trapezium) 
  s= area of the rectangle OADC + area of the triangle ABD
  So, 
  $s=OA\times OC+\frac{1}{2}\left)AD\times BD\right)$
  Substituting $OA=u$, $OC=AD=t$ and $BD=at$, we get
  $s=\left(u\times t\right)+\frac{1}{2}\times \left(t\times at\right)$
  or,
  $s=ut+\frac{1}{2}a{t}^2$
  which is the equation of position time relation

c. Equation for position velocity relation

• Again consider graph in figure 7. We know that distance travelled s by a body in time t is given by the area under line AB which is area of trapezium OABC. So we have
  
  Since $OA+CB=u+v$ and $OC=t$, we thus have
  $s=\frac{\left(u+v\right)t}{2}$
  From velocity time relation
  $t=\frac{v-u}{a}$
  putting this t in equation for s we get
  $s=\frac{\left(u+v\right)}{2}\left(\frac{v-u}{a}\right)$
  or we have
  $v^2=u^2+2as$
  which is equation for position velocity relation.

ग्राफीय विधि द्वारा गति के समीकरण (Equations of Motion by Graphical Method)

मान लिया कि एकसमान त्वरित गति से चल रहे एक वस्तु का ग्राफ निम्नांकित है।

इस ग्राफ में,

प्रारंभिक वेग =$u(u\ne 0)$ [ A बिन्दु पर]

अंतिम वेग $=v$ [ B बिन्दु पर]

मान लिया कि समय $t$ में वस्तु का प्रारंभिक वेग $u$ से बद्लकर $v$ हो जाता है।

अर्थात समय $=t$

अब बिन्दु B से दो लम्ब BC तथा BE क्रमश: समय तथा वेग अक्ष पर डाला गया।

अत: OA द्वारा प्रारम्भिक वेग तथा BC द्वारा अंतिम वेग दर्शाया गया है।

तथा समयांतराल $t$ को OC द्वारा दर्शाया गया है।

ग्राफीय विधि द्वारा वेग तथा समय के संबंध का समीकरण

BD = BC – CD

यह समयांतराल $t$ में वेग में परिवर्तन दर्शाता है।

अब AD को OC समांनांतर खींचा गया

अत: ग्राफ के द्वारा

BC = BD + DC

$\Rightarrow BC=BD+OA$

अब BC $=v$ तथा OA $=u$ का मान रखने पर

$v=BD+u$

$\Rightarrow BD=v-u$ -----------(iv)

अब हम जानते हैं कि इकाई समय में वेग में परिवर्तन त्वरण ($a$) होता है।

अत: 

$\Rightarrow a=\frac{BD}{AD}$

[जहाँ $a$ = त्वरण]

$\Rightarrow a=\frac{BD}{OC}$

अब OC = $t$ रखने पर हम पाते हैं कि

$\Rightarrow a=\frac{BD}{t}$

$\Rightarrow BD=at$ ------------(v)

अब समीकरण (iv) में BD का मान रखने पर

$v=u+at$ ------------- (vi)

जहाँ $u$= प्रारम्भिक वेग, $v$=अंतिम वेग, $a$ = त्वरण तथा $t$= समय

यह समीकरण (vi) वेग–समय संबंध के लिये समीकरण कहा जाता है।

अत: $u,v,a$ तथा $t$ में से किसी तीन का मान ज्ञात होने पर चौथे राशि के मान की गणना की जा सकती है।

ग्राफीय विधि से समय–स्थिति संबंध के लिये समीकरण

मान लिया कि एक वस्तु ने एकसमान त्वरण $a$ से $t$ समय में $s$ दूरी तय करती है।

अत: दिये गये ग्राफ में वस्तु द्वारा तय की गई दूरी, वेग–समय ग्राफ AB के नीचे घिरे क्षेत्र OABC द्वारा प्राप्त की जाती है।

∴ $s$ = OABC का क्षेत्रफल

= समलम्ब चतुर्भुज OADC का क्षेत्रफल + त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल

$=OA\times OC+\frac{1}{2}(AD\times BD)$

अब चूँकि OA = $u$ तथा OC = AD =$t$ तथा BD = $at$

अत: OA, OC, AD तथा BD का मान रखने पर हम पाते हैं कि

$s=u\times t+\frac{1}{2}(t\times at)$

$\Rightarrow s=ut+\frac{1}{2}a{t}^2$ --------- (vii)

यह समय–स्थिति के लिये समय कहलाता है।

दिये गये समय–स्थिति में $s,u,t$ तथा $a$ में से किन्हीं तीन का मान ज्ञात रहने पर चौथे का मान ज्ञात किया जा सकता है।

वेग –स्थिति संबंध के लिये समीकरण (Equation for Position Velocity Relation)

वस्तु के द्वारा एकसमान त्वरण $a$ से $t$ समय में तय की गई दूरी को ग्राफ के नीचे समलम्ब चतुर्भुज OABC द्वारा घेरे गये क्षेत्रफल द्वारा प्रदर्शित किया गया है।

अर्थात, दूरी, $s$ = समलम्ब चतुर्भुज OABC का क्षेत्रफल

= $\frac{1}{2}$(समानांतर भुजाओं का योग)× समानांतर भुजाओं के बीच की दूरी

$=\frac{1}{2}(OA+BC)\times OC$

अब OA $=u$, BC $=v$ तथा OC $=t$, का मान रखने पर हम पाते हैं कि

$s=\frac{1}{2}(u+v)t$ ----------- (viii)

अब, वेग–समय संबंध से हम जानते हैं कि

$v=u+at$

$\Rightarrow at=v-u$

$=t=\frac{v-u}{a}$

अत: उपरोक्त $t$ का मान समीकरण (viii) में रखने पर हम पाते हैं कि

$s=\frac{1}{2}(u+v)\times \frac{v-u}{a}$

$\Rightarrow s=\frac{1}{2a}(v^2-u^2)$

[∵$(u+v)(u-v)=v^2-u^2$]

$=2as=v^2-u^2$

$\Rightarrow v^2=u^2+2as$ ------------ (ix)

इस समीकरण को वेग –स्थिति संबंध समीकरण कहा जाता है।